フォン・ノイマンの生涯

いま、「フォン・ノイマンの生涯」を読んでいます。
様々な技術領域で多くの業績を残した学者らしく、頭のよさと変人さに係る逸話が多く残っています。例えば以下の問題を独特の方法で答えたりしました。

南北２０キロ離れた二台の自転車が向かい合って同時に時速１０キロで走り出す。
　走り出した瞬間に北側の自転車からハエが飛び立って時速１５キロで、南側の自転車にタッチしてＵターン、それを順次繰り返してハエが２台の自転車にはさまれてお陀仏になるまで、ハエは合計何キロ飛翔するか。

簡単な解答法は、２台の自転車がぶつかるまでの時間を求めます。

　１時間＝（２０キロ÷（時速１０キロ＋時速１０キロ）

これがハエの飛翔時間になりますので、ハエの飛翔速度を掛けて飛翔距離累積を求めます。

　１５キロ＝１時間×時速１５キロ

フォン・ノイマンの答えは「無限級数の和を求めただけ、本当の数値はもっと複雑」だそうです。その思考パターンをトレースしてみました。

①最初にハエが南側の自転車にぶつかるまでの時間を求めます。

　０．８時間＝２０キロ÷（時速１０キロ＋時速１５キロ）

②ハエの飛翔距離は１２ｋｍです。このとき南側の自転車の位置は南から８ｋｍ、北側の自転車の位置は北から８ｋｍで、両者の間隔は４ｋｍで、元の１／５に狭まっています。

③次にハエが北側の自転車にぶつかるまでの時間を求めます。

　０．１６時間＝４キロ÷（時速１０キロ＋時速１５キロ）
　＝０．８時間÷１／５

④このときのハエの飛翔距離は０．１６時間×時速１５キロです。

無限級数の和は

　ハエの飛翔距離＝１２ｋｍ＋１２ｋｍ÷５＋１２ｋｍ÷（５の２乗）＋１２ｋｍ÷（５の３乗）＋・・・
　　　∞              n
　＝Σ(12ｋｍ ÷5   )
　　　n=0

　＝１５ｋｍ

この本を読んでいて出てきた逸話ですが、昔に同類の問題を問われて、簡単な解答法の法で答えた覚えがあります。たぶん、「フォン・ノイマンの生涯」が元ネタで出題されたのだと思います。